Provar que o triângulo cujos vértices são A(2,2) , B(-4,-6) , e C(4,-12) é um triângulo retângulo.
Basta verificar que as medidas dos lados estão de acordo com o Teorema de Pitágoras.
(PUC - 1970) Sendo , e vértices de um triângulo, então este triângulo é:
a) triângulo retângulo e não isósceles b) triângulo retângulo e isósceles c) triângulo equilátero d) triângulo isósceles não retângulo e) nenhuma das respostas anteriores
(D)
(UCMG - 1982) Na figura ao lado, o ângulo é reto. O valor, em graus, do ângulo é de:
a) 95 b) 100c) 105 d) 110e) 120
(B)
(PUC-SP - 1981) Qual é o valor de x na figura ao lado?
a) b) c) d) e)
(E)
(F.C.M.STA.CASA - 1981) Na figura ao lado temos o triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm e a circunferência inscrita nesse triângulo. A área da região sombreada é, em cm² :
a) b) c) d) e)
(E)
(F.C.M.STA.CASA - 1980) Na figura ao lado, considere o segmento a = 2 m . A área da superfície sombreada é igual a:
a) m² b) m² c) m² d) m² e) nenhuma das anteriores
(D)
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a , e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de , então, a área lateral da pirâmide mede, em ,
a) b) c) d) e)
Considerações: Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura de cada triângulo equilátero em função do seu lado é (veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 e a área do hexágono é
Resolução: Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área
1. calcular :cm 2. calcular a altura da pirâmide :A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é , então a altura do cilindro é .O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale . 3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ():Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento , que define o triângulo retângulo reto no ângulo .Pelo Teorema de Pitágoras: 4. Calcular a área lateral da pirâmide:A área de uma face da pirâmide é A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = que corresponde à
alternativa(A)
Com os dados das figuras abaixo, determine m .
m = 3,6
Com os dados das figuras abaixo, determine h .
h = 4,8
Com os dados das figuras abaixo, determine n .
n = 6,4
Com os dados da figura, completar as igualdades dos itens a. até d.
a) b) c) d)
a. () b. () c. () d. ()
A altura do triângulo equilátero de lado cm. mede:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm
(E)
Resolução:
Conforme a figura, no triângulo equilátero de lado 3 cm é traçada a altura , que é perpendicular a e divide o segmento no seu ponto médio .Considerando-se o triângulo retângulo , temos: hipotenusa : cateto : cateto : e pelo Teorema de Pitágoras: o valor é satisfeito pela alternativa (E). Observações: ●É importante verificar nas respostas se a unidade de medida confere: centímetros. ●Para unidades de medida-distância consideramos apenas os valores positivos. ●Para quem vai prestar concurso é importante memorizar que a altura de um triângulo EQUILÁTERO de lado é igual a .
Na figura abaixo, calcule o valor de .
Resolução: então: Resposta:
Num triângulo retângulo, a hipotenusa menos o cateto maior é igual a , a hipotenusa menos o cateto menor é igual a . Calcule os catetos e a hipotenusa.
Resolução: (I) (II) Pitágoras:(III)
Substituindo (I) e (II) em (III) temos então:
(inadequado porque )
Substituindo em (I) e (II) Resposta:
o triângulo procurado tem catetos , e hipotenusa
Determinar a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos valem e .
Resolução
(relação métrica)
Resposta:.
Determinar na figura abaixo.
Resolução:
Pitágoras: Resposta:
Calcule a diagonal do quadrado de lado .
Resolução:
Pelo Teorema de Pitágoras: Resposta:A diagonal de um quadrado de lado medindo tem medida igual a
.
Na figura abaixo, o valor de x é:
a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9
(B)
Na figura, calcule "" em função de .
Resolução: então Resposta:
Observe que , sendo o número de triângulos retângulos.
Na figura, é bissetriz interna relativa ao lado . Calcule a medida do segmento , sendo , e .
Resolução:
Observação: O teorema da bissetriz versa que a reta bissetriz de um dos ângulos do triângulo divide o lado oposto a este ângulo em dois segmentos proporcionais às medidas dos lados adjacentes ao ângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras: portanto, na figura Pelo Teorema da Bissetriz Interna, então: Somando (I) e (II) e Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD:
Resposta: A medida do segmento é
A diagonal de um quadrado de lado 4 cm vale:
a) b) c) d) e)
(C)
Conforme a figura abaixo, a medida do lado maior do retângulo é:
a) 5 m b) m c) 47 m d) 25 m e) 12 m
(A)
Na figura são dadas as medidas de dois lados de um triângulo retângulo. O terceiro lado mede:
a) 3 b) c) d) 4 e)
(E)
A medida do segmento na figura abaixo, onde é conhecido, é dada por:
a) b) c) d) e)
(A)
Um triângulo cujas medidas dos três lados são, respectivamente e é:
a) um triângulo retângulo b) um triângulo acutângulo c) um triângulo obtusângulo d) um triângulo equiângulo e) nenhuma das anteriores
(C)
Os itens a seguir definem medidas de lados de triângulos. Classifique cada triângulo de 1 a 6, associando-os de acordo com o código:
A - um triângulo retângulo B - um triângulo acutângulo C - um triângulo obtusângulo D - um triângulo equiângulo E - não é triângulo
1. lados 3, 4 e 5 () 2. lados 12, 15 e 16 () 3.lados 5, 12 e 13 () 4. lados 10, 12 e 14 () 5. lados 2, 2 e 3 () 6. lados 2, 3 e 5 ()
1.lados 3, 4 e 5 (A) 2.lados 12, 15 e 16 (B) 3.lados 5, 12 e 13(A) 4.lados 10, 12 e 14(B) 5.lados 2, 2 e 3(C) 6.lados 2, 3 e 5(E)
Numa sequência de três números naturais (a , b , c) , os termos são chamados de "Números Pitagóricos" se forem tais que c² = a² + b² . Assinale a alternativa onde só existem Números Pitagóricos:
(PUC - 1973) Sabendo-se que o triângulo é retângulo e é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(D)
(PUC - 1973)
Na figura, sabendo-se que:
,
,
Então, e valem, respectivamente:
a) 25 m e 25 m b) 32 m e 18 m c) 38 m e 12 m d) 40 m e 10 m e) nenhuma dasanteriores
(B)
(PUC - 1973) Na figura abaixo, os segmentos são medidos em . O segmento vale:
a) 11 m b) 105 m c) impossível, pois 43 não tem raiz exata d) 7 m e) nenhuma das anteriores
(D)
Determine o valor de de acordo com a figura:
x = 5
Determine o valor de x na figura abaixo:
Determine a medida do segmento mostrado na figura:
Determine na figura:
Os lados de um triângulo têm e de comprimento. É triângulo retângulo? Caso seja, que lado é a hipotenusa?
Não é triângulo retângulo:
O lado de um triângulo equilátero é igual à altura de um segundo. Qual a razão de semelhança na ordem dada?
Determinar a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 1 cm.
Na figura, é um quadrado de lado 5 m . Determinar a medida de .
Na figura, é um quadrado de lado e é um triângulo equilátero. Determinar a medida de .
Com os dados da figura ao lado,
determine o valor de " x ".
x = 12
Determine o valor do lado x na figura abaixo.
x = 5
Determine a medida do lado "x" na figura abaixo.
x = 7
Na figura abaixo, determinar o valor de "x" .
x = 25
Determine a medida do segmento "x" conforme a figura abaixo.
x = 5
(ENERJ) Entre duas torres de 13 m e 37 m de altura existe na base uma distância de 70 m. Qual a distância entre os extremos sabendo-se que o terreno é plano?
74 m
(USP) Determinar os lados a, b e c de um triângulo retângulo em A se b + c = 7 dm e h = 2,4 dm.
a = 5 dm; b = 4 dm; c = 3 dm
(FEI) O triângulo ABC é equilátero; D e E são os pontos médios de BH e CH. Comparar as áreas do retângulo DHEM com do retângulo DEGF.
a) são iguais b) < c) > d) dependem da medida do lado do triângulo e assim pode ser qualquer das anteriores. e)
(A)
(USP) Na figura, temos a representação de um retângulo inscrito num setor de e de raio . Medindo o lado OA do retângulo do raio, o produto é:
a) b) c) d) e)
(B)
(USP) São conhecidos os seguintes elementos de um triângulo : ; ;. Pode-se afirmar que:
a) é a única solução. b) é a única solução. c) ou d) ou e) ou
(E)
(ITA - 1977) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa vale . Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:a) b) c) d) e) nenhuma das alternativas anteriores
(D)
Na figura, calcular e .
Resolução: Então e portanto
Resposta:
(GOIÂNIA) Em um triângulo retângulo os ângulos são agudos. Se a hipotenusa mede 3 cm. e , calcule as medidas dos catetos.
(FUVEST) Em um triângulo o lado mede e o ângulo , oposto ao lado , mede . Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.
Resolução:
Na figura, onde o ângulo mede 45° e o lado mede unidades. O triângulo está inscrito na circunferência de centro .
Se é um ângulo inscrito, então o ângulo é o ângulo central correspondente e mede o dobro de , ou seja, mede o triângulo é reto em
O triângulo é isósceles com dois lados iguais ao raio da circunferência e o terceiro lado igual a .
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo isósceles temos:
Outro método: Da trigonometria, sabemos que o seno de 45° é podemos utilizar o Teorema dos Senos:
medida do raio r = 4
(FGV) Sabendo que o é um triângulo retângulo em , calcular as coordenadas do vértice .
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(C)
(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?
Resolução: a)
Seja o triângulo retângulo como na figura, com ângulo de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro circunscrita ao .O ângulo é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente . Portanto a medida de é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento , é um diâmetro da circunferência de centro , e que (centro) é ponto médio de . Sendo um raio da circunferência, então a medida de é igual à metade da medida do diâmetro . Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio) b)
Como a e têm a mesma medida, então o é isósceles e portanto: . Sendo bissetriz de de medida 90°, então , donde concluímos que: resposta
a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°
(FUVEST - 2015) No triângulo retângulo , ilustrado na figura, a hipotenusa mede 12 cm e o cateto mede 6 cm. Se é o ponto médio de , então a tangente do ângulo é igual a:
a) b) c) d) e)
(B)
(FUVEST - 1977)
Dados:;;; Então é igual a:
a) b) c) d) e)
(B)
(MACKENZIE - 1979) No triângulo retângulo ABC da figura, b = 1 e c = 2. Então x vale:
a) b) c) d) e)
(E)
(FATEC - 1979) Se os catetos de um triângulo retângulo T medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm
(E)
(FATEC - 1979) Na figura abaixo, ABFG e BCDE são dois quadrados com lados, respectivamente, de medida a e b. Se e o perímetro do triângulo ACG é 12, então, simultaneamente, a e b pertencem ao intervalo:
a) ]1; 5[b) ]0; 4[c) ]2; 6[ d) ]3; 7[e) ]4; 8[
(B)
(PUC SP - 1980) Num triângulo retângulo cujos catetos medem e , a hipotenusa mede:
a) b) c) d) e)
(B)
(UF RS - 1984) O lampião, representado na figura, está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo-se que essas cordas medem 1/2 e 6/5, a distância do lampião ao teto é:
a) 1,69b) 1,3c) 0,6d) 1/2 e) 6/13
(E)
(UF UBERLÂNDIA - 1980) Num triângulo ABC, o ângulo é reto. A altura divide a hipotenusa em dois segmentos e . Sabendo-se que o cateto é o dobro do cateto , podemos afirmar que é igual a: